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1、這個正多邊形的面積和周長的值比圓的相應值要小一些，但這兩對值相當接近。如果我們放置更多的點，則可以使這兩對值更加接近。假定我們所使用的點的數目很大，比方說為n。于是，我們就得到一個正 n邊形，且其面積和周長與圓的真實面積和周長非常接近。關鍵的一點是，隨著正 n邊形邊數的增多，正n邊形也會越來越近似于圓。那么，此正多邊形的面積又是多少呢？讓我們將它切分成 n個相同的三角形吧。

2、這樣，每個三角形的底邊長度就等于正多邊形的邊長，令其為 s。而三角形的高度則是從圓心到正多邊形邊的距離，我們稱該高度為 h。因此，每個三角形的面積為1/2hs，而正多邊形的面積則為1/2hsn。注意到 sn正好是正多邊形的周長，因此我們可以得出如下等式：

3、其中的 p為正多邊形的周長。就這樣，使用周長和圓心到邊長的距離，我們將正多邊形的面積精確地表示了出來。然而，隨著邊數 n無限地增大，情況又會怎樣呢？顯然，正多邊形的周長 p將會和圓的周長 C越來越接近，而高度 h也將會逼近圓的半徑r。這說明正多邊形的面積必然會逼近1/2rC，而同時正多邊形的面積也一直在逼近圓的真實面積 A。那么，唯一的結論只可能是，這兩個數值必然相等，即

4、這表明，圓的面積剛好等于半徑與圓周的乘積的一半。一種思考該結論的好方法是，設想將圓周展開成一條直線，則該直線和圓的半徑剛好形成一個直角三角形。

5、我們所得出的公式表明，圓形所占據的面積剛好和這個直角三角形的面積相等。這里，有一種很重要的方法。僅僅通過做一些近似，我們就不經意地得出了圓的面積的精確表示。關鍵的一點是，我們并不只是做了幾個精確程度很高的近似，而是做了無窮多個近似。我們構造了一個精確程度越來越高的無窮近似序列，這無窮多個近似已經足以讓我們看出其中的模式并得到它們的極限。換句話說，我們可以從一個有模式的無窮近似序列中得知真理。因此，將這視為迄今為止人類所產生的最偉大的想法，是有一定道理的。這種奇妙的方法，我們一般稱之為窮竭法，它是由古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，柏拉圖的一位學生）于公元前 370年左右發明的。它讓我們可以通過構造無窮的直線近似序列來度量彎曲的形狀。運用窮竭法構造無窮近似序列的訣竅是，所構造出的無窮序列必須具有某種模式——一個無窮的隨機數序列并不能告訴我們什么有價值的信息。因此，只有一個無窮的序列是不夠的，我們還必須能夠發現其中的模式從而理解該序列。現在，我們已經用圓周將圓的面積表示了出來。

本文到此結束，希望對大家有所幫助。

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