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1、這個(gè)正多邊形的面積和周長(zhǎng)的值比圓的相應(yīng)值要小一些，但這兩對(duì)值相當(dāng)接近。如果我們放置更多的點(diǎn)，則可以使這兩對(duì)值更加接近。假定我們所使用的點(diǎn)的數(shù)目很大，比方說為n。于是，我們就得到一個(gè)正 n邊形，且其面積和周長(zhǎng)與圓的真實(shí)面積和周長(zhǎng)非常接近。關(guān)鍵的一點(diǎn)是，隨著正 n邊形邊數(shù)的增多，正n邊形也會(huì)越來越近似于圓。那么，此正多邊形的面積又是多少呢？讓我們將它切分成 n個(gè)相同的三角形吧。

2、這樣，每個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)度就等于正多邊形的邊長(zhǎng)，令其為 s。而三角形的高度則是從圓心到正多邊形邊的距離，我們稱該高度為 h。因此，每個(gè)三角形的面積為1/2hs，而正多邊形的面積則為1/2hsn。注意到 sn正好是正多邊形的周長(zhǎng)，因此我們可以得出如下等式：

3、其中的 p為正多邊形的周長(zhǎng)。就這樣，使用周長(zhǎng)和圓心到邊長(zhǎng)的距離，我們將正多邊形的面積精確地表示了出來。然而，隨著邊數(shù) n無限地增大，情況又會(huì)怎樣呢？顯然，正多邊形的周長(zhǎng) p將會(huì)和圓的周長(zhǎng) C越來越接近，而高度 h也將會(huì)逼近圓的半徑r。這說明正多邊形的面積必然會(huì)逼近1/2rC，而同時(shí)正多邊形的面積也一直在逼近圓的真實(shí)面積 A。那么，唯一的結(jié)論只可能是，這兩個(gè)數(shù)值必然相等，即

4、這表明，圓的面積剛好等于半徑與圓周的乘積的一半。一種思考該結(jié)論的好方法是，設(shè)想將圓周展開成一條直線，則該直線和圓的半徑剛好形成一個(gè)直角三角形。

5、我們所得出的公式表明，圓形所占據(jù)的面積剛好和這個(gè)直角三角形的面積相等。這里，有一種很重要的方法。僅僅通過做一些近似，我們就不經(jīng)意地得出了圓的面積的精確表示。關(guān)鍵的一點(diǎn)是，我們并不只是做了幾個(gè)精確程度很高的近似，而是做了無窮多個(gè)近似。我們構(gòu)造了一個(gè)精確程度越來越高的無窮近似序列，這無窮多個(gè)近似已經(jīng)足以讓我們看出其中的模式并得到它們的極限。換句話說，我們可以從一個(gè)有模式的無窮近似序列中得知真理。因此，將這視為迄今為止人類所產(chǎn)生的最偉大的想法，是有一定道理的。這種奇妙的方法，我們一般稱之為窮竭法，它是由古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，柏拉圖的一位學(xué)生）于公元前 370年左右發(fā)明的。它讓我們可以通過構(gòu)造無窮的直線近似序列來度量彎曲的形狀。運(yùn)用窮竭法構(gòu)造無窮近似序列的訣竅是，所構(gòu)造出的無窮序列必須具有某種模式——一個(gè)無窮的隨機(jī)數(shù)序列并不能告訴我們什么有價(jià)值的信息。因此，只有一個(gè)無窮的序列是不夠的，我們還必須能夠發(fā)現(xiàn)其中的模式從而理解該序列。現(xiàn)在，我們已經(jīng)用圓周將圓的面積表示了出來。

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