編者按：本文最初發表時間是2021年的8月份，乘方永續合約由下面的原文作者共同提出，衍生品還是一個很小眾的市場，知道的人會使用的人并不多，無論是國內還是國外。Paradigm 研究院提出來的（乘方永續合約）是一個比較新的衍生品概念，而且未來乘方永續合約會革新整個衍生品市場。本文綜合了Paradigm原文對乘方永續合約的介紹和0x76 StevenZ對其的理解。信息量很大，但非常值得閱讀。建議收藏后有時間慢慢學習。

免責聲明：文中提到的內容不能作為投資建議。

原文標題： Power Perpetuals

原文作者： Dave White, Dan Robinson, Zubin Koticha, Andrew Leone, Alexis Gauba, Aparna Krishnan

編譯作者：張路遙

本文后半部分作者：律動研究院（0x76 StevenZ）

簡介

本文介紹了一種新型的衍生品 – 乘方永續合約。

如果 ETH 的價格翻倍，ETH 的 2 次方永續合約翻 4 倍，ETH 的 3 次方永續合約翻 8 倍，ETH 的 5 次方永續合約翻 32 倍。

當然，這種不對稱的上漲并不是免費的。那些做多乘方永續合約的人需要定期支付溢價收益，給那些做空的人。

乘方永續合約提供了類似于全球期權的風險敞口，而不需要行權價或到期日，使其有可能將大部分期權市場的流動性，整合到單一的工具中。

從不少方面來講，乘方永續合約都是永續期權合理的下一步。據我們所知，除我們外，研究人員Wayne Nilsen和lllvvuu也各自獨立發現了這種產品。

機制前提條件

乘方永續合約是永續期權論文中介紹的永續衍生品的一個特殊系列。

在本文接下來的內容中，我們將假設讀者已經熟悉永續期權和永續期貨的基本機制。

定義

乘方永續合約是指與某些標的資產價格的乘方掛鉤的永續衍生品。在本文中，我們將假設這個標的資產是以太幣。

對于任何乘方 p，ETH^p 乘方永續合約都是通過定期（如每天）支付的資金費用來維持的。如果在注資時，乘方永續合約的當前價格是 $MARK，做多乘方永續合約的人必須向做空的人支付 $(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^p)。

在乘方永續合約里，我們把這種資金費用稱為溢價收益 (premium yield)。因為這種費用通常是由多頭向空頭支付的溢價，以換取類似期權的風險敞口。

例子

考慮 ETH^2 乘方永續合約。

為簡單起見，假設 ETH 的交易價格為 $3，而在支付資金時，ETH^2 乘方永續合約的交易價格為 $9.09。那么每份合約多頭都將不得不向空頭支付 $(MARK-INDEX)=$(MARK-ETH^2)=$(9.09-3^2)=$9.09-$9.00=$0.09。

定價概述

乘方大于 1 的永續合約具有正的凸性，這意味著當價格對他們有利時，持有者賺錢更快，而當價格對他們不利時，虧錢則更慢。用期權的話說，我們說它們有正的伽馬值 (gamma)。

就像期權通常以其內在價值的溢價交易一樣，ETH^p 的乘方永續合約通常以 ETH 價格的 p 次冪的溢價交易。

推導

按照永續期權論文中的方法，我們可以先對即將到期的乘方衍生品進行定價，然后這些衍生品的組合進行定價，這個組合剛好相當于所需的永續合約。

下面我們將使用 Black-Scholes 假設來推導我們的價格。這些當然不是最合適的假設，但應該可以作為一個例子來說明做市商如何去給乘方永續合約估值。

在 Black-Scholes 假設下給一個即將到期的乘方衍生品定價要比給期權定價簡單得多。有興趣的讀者可以在 StackExchange這里找到一個快速推導。其價格為

S^pe^(2r+pv^2)}Spet2p 1(2r+pv2)

其中 S 是現貨價格，p 是乘方數，t 是到期時間，r 是漂移（drift）或者叫無風險利率，v 是年化波動率。

結合永續期權論文附錄 B 中的永續期權定價方法，并對所得的幾何數列進行求和，我們可以得到每期支付一次資金的乘方永續合約的價格表達式如下（假設數列收斂 – 見下文）：

S^p\frac (2r+pv^2)}-1}Sp2e f2p 1(2r+pv2) 11

其中 f 是以年為單位的注資期。

這可以解釋為指數 S^p 乘以調整系數\frac (2r+pv^2)}-1}2e fracp 12(2r+pv2) 11，該系數考慮了乘方永續合約的嵌入式期權性。需要注意的是，當注資期接近 0 時，這個調整系數接近 1。

溢價收益（我們對融資率的新術語）可以計算為：

\text -\text = S^P (\frac (2r+pv^2)}-1}-1)MARK INDEX=SP(2e f2p 1(2r+pv2) 11 1)

收斂性

我們總是可以對股票永續期權進行定價，而與之不同的是，配置不好的乘方永續合約可能會出現價格無法收斂的情況。特別是，我們只有在以下情況下才可以對乘方永續合約進行定價：

\frac (2r+pv^2)}}nnotation>2ef2p 1(2r+pv2)pan>

直觀地說，乘方數和波動率越高，長期的臨期乘方期貨就越有價值；注資期越長，乘方永續合約的價值就越集中于長期的乘方期貨。對某些組合來說，同等的投資組合可以變得無限有價值。

這個問題在實踐中可以通過選擇一個足夠小的注資期來輕松避免。

例子

ETH^2 乘方永續合約

見https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。

在 Black-Scholes 假設下，ETH^2 乘方永續合約的價格為S^2\frac -1}S22e f（r+v2） 11。

在其他條件相同的情況下，當 ETH 價格 4 倍時，它會翻 16 倍。

它有一個很方便的特性，就是有一個恒定的伽馬值，即\frac -1}2e f(r+v2) 12，這意味著無論 ETH 的價格如何，它都能提供恒定的期權性。

我們親切地稱它為「squeeth」，是「ETH 平方」的簡稱。

ETH^3 乘方永續合約

見https://github.com/para-dave/powerperps/blob/master/power_perp_prices.ipynb。

ETH^3 乘方永續合約的價格為S^3\frac -1}S32e f（2r+pv2） 11。

在其他條件相同的情況下，ETH 價格翻 4 倍時，它將翻 64 倍。

你可以從圖中清楚地看到永續合約的交易價格比其指數 ETH^3 要高，因為它為持有者提供了期權。

Python 定價實現

你可以在https://github.com/para-dave/powerperps/看到乘方永續合約定價的 Python 實現，包括根據經驗證明正確性的測試。

總結

乘方永續合約仍處于起步階段，但我們從一開始就對其進行了深入的研究，并仍對其潛力感到非常興奮。

鳴謝：lllvvuu、Wayne Nilsen、Wade Prospere、Grug、Lily Francus、Benn Eifert 博士、Jeff Wang、Mewn

編者按：上文是Paradigm對乘方永續合約的一個官方介紹，沒看懂？沒關系，接著來看一下0x76 StevenZ對其的理解，希望對你有所幫助，enjoy~

頂級投資機構 Paradigm 在上周發布了一篇介紹新型金融衍生品「乘方永續合約」的論文。論文一經發布，就在區塊鏈的核心用戶社群內引發了廣泛的討論。

那么，乘方永續合約到底是全新的衍生品類別，還是僅僅對已有衍生品進行了改進。是更加接近期權類衍生品，還是更像我們熟悉的永續合約。本文將通過盡量簡明的語言，嘗試為讀者分析這種新型衍生產品的意義與價值。（注：本文假設讀者已對期貨、期權以及永續合約的基礎知識有一定了解，故不再占用篇幅介紹衍生品基礎知識。）

當然，希望進一步深入了解「乘方永續合約」的讀者，還是建議直接閱讀論文原文或由律動轉載的中文翻譯，以及文章中引用的參考鏈接。

線性函數與凸函數

目前所有的金融衍生品，不論其產品的具體結構設計如何變化，其核心都是要構造一個底層資產價格對衍生品價格的映射函數。在這個思路下，主流衍生品可以按照其映射函數的類型分為以下兩類：

第一類為線性函數類衍生品，其衍生品的價格會根據現貨價格的變動而線性變化，對應的產品就是傳統金融中的期貨合約，在此不做過多介紹。

而第二類為凸函數類型衍生品。其典型特征為衍生品的價格與現貨價格的變動成非線性關系，比如在現貨價格上漲時衍生品價格上漲的幅度更大。而在數學上，凸函數也有明確的幾何特征，在不追求嚴謹數學定義的前提下，凸函數可以被簡單的理解為一個函數曲線向上或向下彎曲的函數。

下圖是隨機生成的一條函數圖像向下彎曲的凸函數，如果我們使用這個函數構建一個衍生品，其中 x 軸代表現貨價格，y 軸代表衍生品的價格。那么這個衍生品的持有者，就會獲得一種不對稱的風險與收益，當現貨價格上漲時，衍生品持有者的收益增長幅度更大，而當現貨價格下跌時，衍生品持有者虧損的速度卻會更小。

讀者可能已經發現，這種風險收益模式就很類似看漲期權的盈虧模型。因此所有期權類衍生品的核心特征，也可以概括為風險與收益的不對稱性，這種屬性也常被稱為凸性（幾何描述）或 Gamma 值（代數描述）。

這種由凸函數帶來的不對稱的風險與收益組合，為投資者提供了一種十分理想的投資組合風險管理工具。因此具有凸性的金融產品（期權類產品），在傳統金融市場中一直占據著很大的市場份額，常被專業投資機構用來調整投資組合的風險敞口，或構建更為復雜的衍生產品。

然而美中不足的是，傳統的期權類產品受制于買權、賣權交易的具體實現形式，因此總是難以徹底擺脫產品會不斷到期以及需要行權的缺點。雖然業內一直在進行相關的探索，嘗試構建一種沒有到期日的「永續期權」產品，但效果卻一直不甚理想。

由 Paradigm 最新論文提出的「乘方永續合約」，便是對這一經典命題的最新回復。它嘗試結合已經成功驗證過的永續合約產品結構，并通過將其核心函數由線性函數調整為凸函數，試圖解決曾經的「永續期權」一直沒能真正解決的問題，那就是：構造一個不會到期也不需要行權，同時具有凸性的衍生品類別。

對傳統衍生品的重構

我們參照上文的思路，利用永續合約經典的資金費模式，分別對兩種映射函數進行產品重構，便會得到兩種新的衍生品形式。

從上表中可以看出，所謂乘方永續合約，就是利用了永續合約的資金費機制，構建了與期權風險模式類似的不對稱風險敞口的產品。這種結合了資金費機制以及期權類風險敞口的「乘方永續合約」，較傳統期權產品具有了以下明顯優勢：

1. 產品結構更為純粹，不再有交割期、行權價等額外環節，買賣雙方可以單純交易具有凸性的風險敞口；

2. 從根本上解決了同一交易對的流動性割裂問題，交易效率大大提高；

3. 底層邏輯更簡單，方便在計算資源有限的公鏈上進行產品實現；

4. 統一了凸函數類與線性函數類衍生產品的底層函數。從上表中可以看出，y = x 其實就是在 n=1 時的特殊形式。因此一個衍生品協議，可以僅依靠同一個底層映射函數公式，便能模擬期貨與期權兩類不同的風險敞口；

乘方永續合約如何體現期權交易的四種風險敞口

我們知道，傳統的期權類產品包含四種不同的風險敞口，他們分別是：買入看漲期權、賣出看漲期權、買入看跌期權和賣出看跌期權。

他們的定價函數圖像如下（紅色曲線為估值曲線）：

下面我們將通過調整中 n 的取值，嘗試構造與傳統期權函數相似的四種函數圖像。

（1）買入看漲期權

當 n>1 時，則函數圖像會向下突出。乘方永續合約的多方在現貨價格上漲時收益增幅更快，現貨價格下跌時虧損速度較慢，可以較好的模擬看漲期權的風險敞口。（本例中取 n=3，以買入價格對應的 y 值作為 y 軸原點）

（2）賣出看漲期權

在上圖的函數中，如果交易者不選擇做多而是做空，則其盈虧函數則與上圖正好相反。也就是按照 x 軸對函數圖像進行翻轉。

其持有者的收益特征也與賣出看漲期權類似，在價格下跌時收益增幅較慢，而在價格上漲時虧損可以快速增加，可以近似模擬傳統期權類的賣出看漲期權。

（3）買入看跌期權

如何通過乘方永續合約構建看跌期權，似乎在論文中并沒有提及。于是我們嘗試將 n 取為小于零的負值，便會得到一條現貨價格上漲時虧損緩慢增加，而下跌時收益快速增長的函數圖像。（下圖中 n 取-0.4）

這條曲線的多頭持有人的盈虧模型，與傳統看跌期權的收益模式非常類似，只是函數曲線與 y 軸不再相交，于是形成了在現貨價格下跌時收益可以無限增長的特性。

（4）賣出看跌期權

同理，在上圖函數中的空方，持有的是原函數對 x 軸的倒影函數。其在價格上漲時收益增速較慢，而在價格下跌時虧損會快速擴大，對應了賣出看跌期權的風險收益模型。

乘方永續合約的定價

文章的最后，我們需要簡單討論一下乘方永續合約的定價問題。

期權之所以需要定價，與其凸函數的性質緊密相關。上文提到，凸函數的持有方獲得了一種收益與風險不匹配的風險敞口。于是想要購買潛在收益大于潛在風險頭寸的一方，只有向其對手方支付一定的溢價，才能減少交易的不公平性并使得交易成交。

這種溢價，在傳統期權中表現為期權的購買價格。而在乘方永續合約中，則會表現為多方向空方定期支付的資金費。這種由多方定期支付資金費的模式，相當于多方在一定期限內，向空方「租用」了這種不對稱的風險敞口。且其租用時間可以自由調整，不再受到傳統期權到期日的限制。

同時，也由于這種溢價的存在，使得函數的成交價格會高于函數圖像本身，這也是論文中的函數圖像會同時具有兩條曲線的原因。下圖中的藍線是函數圖像本身，黃線是考慮溢價之后的理論成交價格，而黃線高于藍線的部分，就是乘方永續合約的多方向空方支付的風險溢價。

那么下一個問題自然是，黃線應該高于藍線多少才屬于合理的溢價？論文中用復雜的公式詳細討論了這個問題，而在這里建議讀者可以暫時不去理會這些數學公式，只要知道這個溢價的大小會受哪些因素的影響就可以了。

與傳統的期權產品一樣，乘方永續合約的價格，也就是上文中的溢價，會受到底層資產的波動性、無風險利率的影響。底層資產的波動性越高，乘方永續合約買方支付的溢價就越高，也就是黃線與藍線的距離越大。此外，代表曲線彎曲程度的 n 的絕對值越大，代表產品收益與風險的不均衡程度越多，也會使得溢價金額變高。

本文僅基于基本的理論推導，嘗試對乘方永續合約可能的應用場景進行討論，如有不足之處還請專業人士批評指正。我個人對這項創新的第一時間感受是，如果這種模型真的能夠落地并被產品化，且沒有在應用階段被證偽，那么其有可能是一個與現貨 AMM 交易機制同等重要的創新。

非常期待能有專業團隊將乘方永續合約的設想產品化，并使其能夠接受真實市場環境的考驗。

標簽： Paradigm 提出的乘方永續合約是什么如何理解