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具有單一市場因素的宏觀經濟因素模型

(資料圖)

我們將從一個包含單個已知因子（即市場指數）的簡單示例開始。該模型為

其中顯式因子ft為S＆P 500指數。我們將做一個簡單的最小二乘（LS）回歸來估計截距α和加載β：

大多數代碼行用于準備數據，而不是執行因子建模。讓我們開始準備數據：

現在我們準備進行因子模型擬合。LS擬合很容易在R中實現，如下所示：

或者，我們可以使用矩陣表示法進行擬合，我們定義和擴展因子。然后最小化

另外，我們可以簡單地使用R為我們完成工作：

可視化協方差矩陣

有趣的是，可視化對數收益率[算術處理誤差]以及殘差Ψ的估計協方差矩陣。讓我們從對數收益率的協方差矩陣開始：

我們可以觀察到所有股票都是高度相關的，這是市場因素的影響。為了檢查股票相關關系，我們繪制相關圖：

有趣的是，我們可以觀察到對Ψ執行的自動聚類可以正確識別股票的行業。

評估投資資金

在此示例中，我們將基于因子模型評估幾種投資基金的績效。我們將標準普爾500指數作為明確的市場因素，并假設無風險收益為零 rf = 0。特別是，我們考慮六種交易所買賣基金（ETF）：

我們首先加載數據：

現在我們可以計算所有ETF的alpha和beta：

現在可以進行一些觀察：

SPY是S＆P 500的ETF，如預期的那樣，其alpha值幾乎為零，beta值幾乎為1：α= 7.142211×10-5和 β= 1.0071423。

XIVH是具有高alpha值的ETF，計算出的alpha值是ETF中最高的（高1-2個數量級）：α= 1.810392×10-3。

SPHB是一種ETF，據推測具有很高的beta，而計算出的beta卻是最高的，但不是最高的：β= 1.5613531。有趣的是，計算出的alpha為負，因此，該ETF應謹慎。

SPLV是降低波動性的ETF，實際上，計算得出的beta偏低：β= 0.6777072。

USMV還是降低波動性的ETF，實際上，計算出的beta是最低的：β= 0.6511671。

JKD顯示出很好的折衷。

我們可以使用一些可視化：

我們還可以使用例如Sharpe比率，以更系統的比較不同的ETF?；仡櫼环N資產和一個因素的因子模型

夏普比率如下：

假設。因此，基于Sharpe比率對不同資產進行排名的一種方法是根據α/β比率對它們進行排名：

可以看到：

就α/β而言，XIVH最佳（α最大），而SPHB最差（α負）。

就夏普比率（更確切地說，是信息比率，因為我們忽略了無風險利率）而言，JDK是最好的，其次是SPY。這證實了大多數投資基金的表現不超過市場的觀點。

顯然，無論以哪種衡量標準，SPHB都是最差的：負α，負β比率和Sharpe比率。

JDK之所以能夠取得最佳性能，是因為它的alpha值很好（盡管不是最好的），而同時具有0.88的中等beta值。

XIVH和SPHB有大量不同的beta，因此在市場上具有極端敞口。

USMV在市場上的曝光率最小，有可接受的alpha值，并且其Sharpe比率接近第二和第三高的位置。

Fama-French三因子模型

該示例將說明使用標準普爾500指數中的九種股票的Fama-French三因子模型。讓我們從加載數據開始：

現在我們在矩陣F中具有三個因子，并希望擬合模型，其中現在的載荷是一個beta矩陣：。我們可以做最小二乘擬合，最小化。更方便地，我們定義和擴展因子?。然后可以將LS公式寫為最小化

另外，我們可以使用R完成：

統計因子模型

現在讓我們考慮統計因子模型或隱式因子模型，其中因子和載荷均不可用。調用具有 K因子的模型 XT =α1T+ BFT + ET的主成分方法：

PCA：

樣本均值：

矩陣：

樣本協方差矩陣：

特征分解：

估計：

更新特征分解：

重復步驟2-3，直到收斂為止。

同樣，我們可以使用R完成工作：

通過不同因子模型進行協方差矩陣估計的最終比較

我們最終將比較以下不同的因子模型：

樣本協方差矩陣

宏觀經濟一因素模型

基本的三因素Fama-French模型

統計因素模型

我們在訓練階段估計模型，然后將估計的協方差矩陣與測試階段的樣本協方差矩陣進行比較。估計誤差將根據PRIAL（平均損失提高百分比）進行評估：

加載訓練和測試集：

現在讓我們用訓練數據估算不同的因子模型：

最后，讓我們比較測試數據中的不同估計：

最終可以看到使用因子模型進行協方差矩陣估計會有所幫助。

標簽： R語言Fama-French三因子模型實際應用優化投資組合